Question

13．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥PC，AC=2，BC=4，∠ABC=∠PCA=30°．
（1）求证：AB⊥平面PAC．　
（2）设二面角A-PC-B•的大小为θ•，求tanθ•的值．
（3）若三棱锥P-ABC的体积为4$\sqrt{3}$，求侧棱PC的长．

Answer 1

分析 （1）在平面PAC内找到并且证明两条相交直线分别与已知直线垂直，即可得到线面垂直．
（2）根据二面角的定义作出二面角，并且证明此角是所求角，然后结合解三角形的有关知识求解答案．
（3）利用三棱锥P-ABC的体积为4$\sqrt{3}$，AB⊥平面PAC，表示出体积，即可求侧棱PC的长．

解答 （1）证明：在△ABC中因为AC=2，BC=4，AB=2$\sqrt{3}$，
所以根据勾可得∠BAC=90°即AB⊥AC．
又因为AB⊥PC，PC∩AC=C，PC?平面ACP，AC?平面ACP，
所以AB⊥平面PAC．
（2）解：过点A作AD⊥PC，交PC与点D，连接BD．
因为AB⊥平面PAC，PC?平面PAC，
所以PC⊥AB．
又因为AD⊥PC，AD?平面ABD，AD?平面ABD，AD∩AB=A，
所以PC⊥平面ABD，所以PC⊥BD．
所以∠BDA是二面角A-PC-B的平面角，即∠BDA=θ．
在△ADC中，AC=2，∠ACD=30°，∠ADC=90°，所以AD=1．
在△ABD中，AB=2$\sqrt{3}$，AD=1，
所以tanθ=$\frac{AB}{AD}$=2$\sqrt{3}$；
（3）解：因为三棱锥P-ABC的体积为4$\sqrt{3}$，AB⊥平面PAC，
所以$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×PC×sin30°×2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
所以PC=12．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，利用题中线面关系证明线面垂直并且有利于求解二面角的平面角．