Question

12．若a₁=a（0＜a＜1），a_n+a_n+1=2n（n∈N^*），则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n为奇数}\\{n-a，n为偶数}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由a_n+a_n+1=2n可得a_n+1+a_n+2=2（n+1），两式相减可知a_n+2-a_n=2，即可证明{a_n}的奇数项和偶数项分别为等差数列．分n为奇偶数即可得出其通项公式．

解答 解：∵a_n+a_n+1=2n（n∈N^*）①，
∴a_n+1+a_n+2=2（n+1）②，
②-①得a_n+2-a_n=2（n∈N^*），
∴{a_n}的奇数项和偶数项分别为公差为2的等差数列．
由a₁+a₂=2，得a₂=2-a₁=2-a，
当n为偶数时，${a}_{n}=2-a+（\frac{n}{2}-1）$×2=n-a；
当n为奇数时，${a}_{n}=a+（\frac{n+1}{2}-1）$×2=n+a-1．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n为奇数}\\{n-a，n为偶数}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{n+a-1，n为奇数}\\{n-a，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．