Question

15．已知数列{a_n}是首项a₁=4的等比数列，其前n项和为S_n，且S₃，S₂，S₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂|a_n|（n≥1，n∈N），设T_n为数列{$\frac{1}{n（{b}_{n}-1）}$}的前n项和，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）利用已知结合等比数列的求和公式，分q=1和q≠1两种情况进行求解；
（2）先写出b_n的表达式，进而求出$\frac{1}{n（{b}_{n}-1）}$的表达式，观察其结构，可利用裂项法求出其前n项和T_n，最后利用放缩法即可证得数列不等式．

解答 （1）解：设数列{a_n}的公比为q，又a₁=4，
若q=1，则S₃=12，S₂=8，S₄=16，
显然S₃，S₂，S₄不成等差数列，与题设条件矛盾，∴q≠1，
由S₃，S₂，S₄成等差数列，得2（4+4q）=（4+4q+4q²）+（4+4q+4q²+4q³），
化简得q²+q-2=0，∴q=-2，或q=1（舍去），
∴a_n=4（-2）^n-1=（-2）ⁿ⁺¹；
（2）b_n=log₂|a_n|=log₂|（-2）ⁿ⁺¹|=n+1，
当n≥2时，$\frac{1}{n（{b}_{n}-1）}$=$\frac{1}{n（n+1-1）}=\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
T_n＜$\frac{1}{{1}^{2}}+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$=$2-\frac{1}{n}＜2$．

点评 本题主要考查等比数列知识的应用和数列求和的方法，也考查了不等式的知识，考查了学生的推理论证能力，是中档题．