Question

12．已知圆O：x²+y²=1和双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）．若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，则$\frac{1}{a^2}$-$\frac{1}{b^2}$=1．

Answer 1

分析 由题意可通过特殊点，取A（-1，t），则B（-1，-t），C（1，-t），D（1，t），由直线和圆相切的条件：d=r，求得t=1，代入双曲线方程，即可得到所求值．

解答 解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外），
均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，
可通过特殊点，取A（-1，t），
则B（-1，-t），C（1，-t），D（1，t），
由直线和圆相切的条件可得，t=1．
将A（-1，1）代入双曲线方程，可得$\frac{1}{a^2}$-$\frac{1}{b^2}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．