Question

4．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$经过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求C的方程
（2）设直线l与C相切于点T，且交两坐标轴的正半轴于A，B两点，求|AB|的最小值及此时点T的坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知条件即可得到方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}}\end{array}\right.$，解方程组即得a=2，b=1，从而得到椭圆C的方程；
（2）设出直线l的截距式方程$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$，联立椭圆的方程消去x可以得到关于y的方程，该方程应有二重根，此时△=0，这样即可得到关于m，n的式子m²+4n²-m²n²=0．根据已知条件知道m＞2，这样便可求得${n}^{2}=\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}-4}$=$1+\frac{4}{{m}^{2}-4}$，根据基本不等式即可得到m²+n²≥9，这样即可求出|AB|的最小值，并且可求出此时的m，n，也就能得到直线l的方程，联立椭圆方程解方程组即可求出切点T．

解答 解：（1）根据已知条件得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}}\end{array}\right.$；
∴解得a=2，b=1；
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线l的方程为$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$，m，n＞0；
∴由方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1}\end{array}\right.$得：
（m²+4n²）y²-2m²ny+n²（m²-4）=0；
直线l与C相切；
∴△=4m⁴n²-4n²（m²+4n²）（m²-4）=0；
化简得m²+4n²-m²n²=0；
∵m＞2；
∴${n}^{2}=\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}-4}$；
∴${m}^{2}+{n}^{2}={m}^{2}+\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}-4}$=${m}^{2}-4+\frac{4}{{m}^{2}-4}+5≥9$；
当且仅当${m}^{2}-4=\frac{4}{{m}^{2}-4}$时取“=”，即$m=\sqrt{6}，n=\sqrt{3}$；
∴$|AB|=\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}≥3$，即|AB|的最小值为3；
此时由方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{\frac{x}{\sqrt{6}}+\frac{y}{\sqrt{3}}=1}\end{array}\right.$解得切点T（$\frac{2\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆离心率的概念，c²=a²-b²，以及直线的截距式方程，直线和椭圆相切时对应方程组只有一个解，基本不等式用于求最值，以及通过解方程组求切点的方法．