Question

9．若函数f（x）=2x+ae^x有两个零点，则实数a的取值范围是a$＞-\frac{2}{e}$．

Answer 1

分析 构造函数a=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，令g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，利用导数求解判断单调性，g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$在（-∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，g（x）最大值为g（1）=$\frac{2}{e}$，求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=2x+ae^x，
∴由函数f（x）=2x+ae^x=0，
得：a=-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，
g′（x）=-$\frac{2-2x}{{e}^{x}}$，
g′（x）=-$\frac{2-2x}{{e}^{x}}$=0，x=1
g′（x）=-$\frac{2-2x}{{e}^{x}}$＞0，x＞1，
g′（x）=-$\frac{2-2x}{{e}^{x}}$＜0，x＜1，
∴g（x）=-$\frac{2x}{{e}^{x}}$在（-∞，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，
∴g（x）最小值为g（1）=-$\frac{2}{e}$，
∵函数f（x）=2x+ae^x有两个零点，
∴a＞-$\frac{2}{e}$，
故答案为：a$＞-\frac{2}{e}$

点评 本题考查了利用方程的根，函数的交点，求解函数的零点问题，利用导数求解问题，属于中档题．