Question

19．若满足c=$\sqrt{2}$，acosC=csinA的三角形ABC有两个，则边长BC的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （1，$\sqrt{3}$）
• C． （$\sqrt{3}，2$）
• D． （$\sqrt{2}，2$）

Answer 1

分析 由条件利用正弦定理求得C=45°，BC=2sinA＜2；再根据△ABC有2个，可得角A有2个，故sinA∈（0，1），BC＞c=$\sqrt{2}$，从而求得 BC的范围．

解答 解：△ABC中，由acosC=csinA，利用正弦定理可得sinAcosC=sinCsinA．
由于sinA≠0，∴sinC=cosC，∴C=45°．
再根据$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}}{sin45°}$=2=$\frac{BC}{sinA}$，可得BC=2sinA＜2．
根据△ABC有2个，可得角A有2个，一个为锐角、另一个为钝角，sinA∈（0，1），
故BC＞c=$\sqrt{2}$，∴BC∈（$\sqrt{2}$，2），
故选：D．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，大边对大角，正弦函数的值域，属于中档题．