Question

10．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$．
（1）当a=$\frac{9}{2}$时，求f（x）在定义域上的单调区间．
（2）若f（x）在（0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过分析x的取值范围情况，讨论当a=$\frac{9}{2}$时f′（x）的正负，即得单调区间；
（2）通过求导，问题转化为a＜$x+2+\frac{1}{x}$=g（x），即求g_min（x），利用函数g（x）的单调性即可得答案．

解答 解：（1）当a=$\frac{9}{2}$时，f（x）=lnx+$\frac{9}{2（x+1）}$，
令f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{9}{2（x+1）^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-5x+2}{2x（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-\frac{1}{2}）（x-2）}{x（x+1）^{2}}$=0，
解得x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$，
由f（x）的定义可知x＞0，下面对x的取值范围进行讨论：
①当$0＜x＜\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递增；
②当$\frac{1}{2}＜x＜2$时，f′（x）＜0，此时f（x）在$（\frac{1}{2}，2）$上单调递减；
③当x＞2时，f′（x）＞0，此时f（x）在（2，+∞）上单调递增；
综上所述，f（x）在定义域上的单调递增区间为（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞），单调递减区间为$（\frac{1}{2}，2）$；
（2）∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{a}{（x+1）^{2}}$＞0，即$\frac{1}{x}＞\frac{a}{（x+1）^{2}}$，
∴a$＜\frac{（x+1）^{2}}{x}$=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$=$x+2+\frac{1}{x}$，
记g（x）=$x+2+\frac{1}{x}$，则a＜g_min（x），
令g′（x）=1$-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$=0，则x=1或-1（舍），
所以当0＜x＜1时g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，
即函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g_min（x）=g（1）=1+2+1=4，
即实数a的取值范围为：a＜4．

点评 本题考查函数的单调区间，最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．