Question

15．已知函数g（x）=cos（2ωx+φ）（其中ω＞0，-π＜φ＜0）是奇函数，函数f（x）=1-2sin²ωx，且函数f（x）g（x）的最小正周期为π．
（1）求ω和φ的值；
（2）若f（α）+f（β）=$\frac{1}{3}$，f（α-β）=-$\frac{59}{72}$，求g（α）+g（β）的值．

Answer 1

分析 （1）由函数g（x）是奇函数，可得φ=$\frac{π}{2}$+kπ，（k∈Z），结合φ的范围，即可求φ的值，由f（x）g（x）的最小正周期为π，根据周期公式即可求ω的值．
（2）由（1）可求得f（x）=cosx，g（x）=sinx．由已知可解得：cos2αcos2β=$\frac{\frac{1}{9}-co{s}^{2}α-co{s}^{2}β}{2}$①，由f（α-β）=cos（α-β）=-$\frac{59}{72}$，解得：cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{59}{72}$③．设t=g（α）+g（β），得sinαsinβ=$\frac{{t}^{2}-si{n}^{2}α-si{n}^{2}β}{2}$②，将①②代入③可得t的值，即可得解．

解答 解：（1）因为函数g（x）=cos（2ωx+φ）是奇函数，
所以φ=$\frac{π}{2}$+kπ，（k∈Z），
因为-π＜φ＜0，所以φ=-$\frac{π}{2}$，
故g（x）=cos（2ωx-$\frac{π}{2}$）=sin2ωx，
因为f（x）g（x）=sin2ωx×（1-2sin²ωx）=sin2ωx•cos2ωx=$\frac{1}{2}$sin4ωx的最小正周期为π=$\frac{2π}{4ω}$，
所以可得：ω=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得：f（x）=cosx，g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）=sinx．
所以由已知可得：f（α）+f（β）=cosα+cosβ═$\frac{1}{3}$，
平方移项可解得：cosαcosβ=$\frac{\frac{1}{9}-co{s}^{2}α-co{s}^{2}β}{2}$①，
f（α-β）=cos（α-β）=-$\frac{59}{72}$，解得：cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{59}{72}$③．
所以：设t=g（α）+g（β）=sinα+sinβ，平方移项可得：sinαsinβ=$\frac{{t}^{2}-si{n}^{2}α-si{n}^{2}β}{2}$②，
将①②代入③可得：$\frac{{t}^{2}-si{n}^{2}α-si{n}^{2}β}{2}$+$\frac{\frac{1}{9}-co{s}^{2}α-co{s}^{2}β}{2}$=-$\frac{59}{72}$，
从而解得：t${\;}^{2}=\frac{1}{4}$，
所以可得：g（α）+g（β）=$±\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．