Question

5．从8男4女中选出5名学生代表，按下列条件各有多少种选法：
（1）至少有一名女同学；
（2）至少有两名女同学，但女甲和女乙有且只有一人当选；
（3）至多有两名女同学；
（4）女生甲、乙都不当选；
（5）必须有女同学当选，但不得超过女同学的半数．

Answer 1

分析 （1）利用间接法，可得${C}_{12}^{5}$-${C}_{8}^{5}$=736种选法；
（2）分为两类：两名女同学，3名女同学，但女甲和女乙有且只有一人当选；
（3）至多有两名女同学，分为三类：没有女同学，有1名女同学，2名女同学；
（4）女生甲、乙都不当选，利用间接法，可得${C}_{12}^{5}$-${C}_{2}^{2}{C}_{10}^{3}$=672种选法；
（5）必须有女同学当选，但不得超过女同学的半数，有${C}_{4}^{1}{C}_{8}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{8}^{3}$=616种选法．

解答 解：（1）利用间接法，可得${C}_{12}^{5}$-${C}_{8}^{5}$=736种选法；
（2）分为两类：两名女同学，但女甲和女乙有且只有一人当选，有${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}$${C}_{8}^{3}$种选法；3名女同学，但女甲和女乙有且只有一人当选，有${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}{C}_{8}^{3}$种选法，共有${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}$${C}_{8}^{3}$+${C}_{2}^{1}{C}_{2}^{2}{C}_{8}^{3}$=280种选法；
（3）至多有两名女同学，分为三类：没有女同学，有${C}_{8}^{5}$种选法，1名女同学，有${C}_{4}^{1}{C}_{8}^{4}$种选法，2名女同学，有${C}_{4}^{2}{C}_{8}^{3}$种选法，共有${C}_{8}^{5}$+${C}_{4}^{1}{C}_{8}^{4}$+${C}_{4}^{2}{C}_{8}^{3}$=672种选法；
（4）女生甲、乙都不当选，利用间接法，可得${C}_{12}^{5}$-${C}_{2}^{2}{C}_{10}^{3}$=672种选法；
（5）必须有女同学当选，但不得超过女同学的半数，有${C}_{4}^{1}{C}_{8}^{4}+{C}_{4}^{2}{C}_{8}^{3}$=616种选法．

点评 本题考查计数原理的应用，考查分类讨论的数学思想，考查间接法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．