Question

20．已知k为常数，命题p：方程（k-1）x²+（2k-1）y²=（k-1）（2k-1）表示椭圆；命题q：方程（k-3）x²+4y²=4（k-3）表示双曲线．若命题p为真命题，求k的取值范围．

Answer 1

分析 将方程转化为椭圆的标准方程，结合椭圆的定义建立条件关系即可得到结论．

解答 解：方程（k-1）x²+（2-1）y²=（k-1）（2k-1）若表示椭圆，
则等价为$\frac{（k-1）{x}^{2}}{（k-1）（2k-1）}+\frac{（2k-1）{y}^{2}}{（k-1）（2k-1）}=1$，
即$\frac{{x}^{2}}{2k-1}+\frac{{y}^{2}}{k-1}=1$，
若方程表示椭圆，
则等价为$\left\{\begin{array}{l}{2k-1＞0}\\{k-1＞0}\\{2k-1≠k-1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞\frac{1}{2}}\\{k＞1}\\{k≠0}\end{array}\right.$，即k＞1．
故若命题p为真命题，求k的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题主要考查命题真假的应用，根据椭圆的标准方程以及定义是解决本题的关键．