Question

14．已知点P（-2，3t-$\frac{1}{t}$），Q（0，2t），（t∈R，t≠0）
（1）当t=2时，求圆心在坐标原点且与直线PQ相切的圆的标准方程．
（2）是否存在圆心在x轴上的定圆M，对于任意的非零实数t，直线PQ恒与定圆M相切，如果存在，求出圆M的标准方程，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据t=2可以求得点P、Q的坐标，则易求直线PQ的方程，然后根据点到直线的距离和直线与圆的位置关系求得该圆的半径，据此来写圆的标准方程；
（2）利用反证法进行证明．设圆M的方程为（x-x₀）²+y²=r²（r＞0），直线PQ方程为：（t²-1）x+2ty-4t²=0．由直线与圆的位置关系、点到直线的距离可以求得圆M的圆心和半径，所以易求得该圆的标准方程．

解答 解：（1）当t=2时，直线PQ的方程为3x+4y-16=0，圆心（0，0）到直线的距离为$\frac{16}{5}$，即r=$\frac{16}{5}$．
所以，圆的标准方程为：x²+y²=$\frac{256}{25}$；
（2）假设存在圆心在x轴上的定圆M与直线PQ相切．
设圆M的方程为（x-x₀）²+y²=r²（r＞0），
直线PQ方程为：（t²-1）x+2ty-4t²=0．
因为直线PQ和圆相切，则$\frac{|（{t}^{2}-1）{x}_{0}-4{t}^{2}|}{\sqrt{（{t}^{2}-1）^{2}+4{t}^{2}}}$=r，
整理得：（t²-1）x₀-4t²=r+rt²①或（t²-1）x₀-4t²=-r-rt²②．
由①可得（x₀-r-4）t²-x₀-r=0对任意t∈R，t≠0恒成立，则有
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}+r-4=0}\\{-{x}_{0}+r=0}\end{array}\right.$，可解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2}\\{r=2}\end{array}\right.$．
所以存在与直线PQ相切的定圆M，方程为：（x-2）²+y²=4．

点评 本题考查了圆的标准方程，直线和圆的方程的应用．解题时需要掌握点到直线的距离公式、圆的标准方程以及直线方程的求法．