Question

2．设函数g（x）=x²（x∈R），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），x≥g（x）}\\{x-g（x），x＜g（x）}\end{array}\right.$，若方程f（x）+2x-a=0有且只有三个不同的实数根，则a的取值范围为[2，$\frac{9}{4}$）．

Answer 1

分析 化简函数f（x）的解析式，由题意可得函数f（x）的图象和直线y=a-2x有3个不同的交点，数形结合可得a的取值范围．

解答 解：由x≥x²，求得0≤x≤1．由题意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，0≤x≤1}\\{x{-x}^{2}，x＜0或x＞1}\end{array}\right.$，
函数f（x）的图象和直线y=a-2x有3个不同的交点．如图所示：
当直线y=a-2x经过点A（1，0）时，求得a=2；
当直线y=a-2x和y=x-x²（x＞1）相切于点B（x₀，x₀-${{x}_{0}}^{2}$）时，由切线的斜率为-2=y′${|}_{x{=x}_{0}}$=1-2x₀，
求得x₀=$\frac{3}{2}$，可得点B（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．
再把点B的坐标代入直线y=a-2x求得a=$\frac{9}{4}$，
故满足条件的a的范围是[2，$\frac{9}{4}$），
故答案为：[2，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．