Question

11．已知函数f（x）=ax²-|x-a|．
（1）若f（x）在（0，+∞）上存在最小值，求实数a的取值范围；
（2）若方程f（x）=|x|有两个实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先去绝对值符号，将函数写成分段函数，然后分a的正负，结合二次函数的最值来讨论；
（2）方程f（x）=|x|有两个实数根，即为ax²-|x-a|=|x|有两个实数根．当a=0时，x=0，不成立；a＜0，显然不成立，当a＞0时，令g（x）=ax²-|x-a|-|x|，先去绝对值符号，将函数写成分段函数，利用△＞0判断即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=-x（x＞0），在（0，+∞）递减，不存在最小值；
当a＜0时，f（x）=ax²-x+a=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+a-$\frac{1}{4a}$，（x＞0），在（0，+∞）递减，不存在最小值；
当a＞0时，f（x）=ax²-|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-x+a，x≥a}\\{a{x}^{2}+x-a，x＜a}\end{array}\right.$，
由于$\frac{1}{2a}$＞0，在x≥a上有最小值$\frac{4{a}^{2}-1}{4a}$，
在（0，a）上递增，当-a≥$\frac{4{a}^{2}-1}{4a}$，解得0＜a≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
f（x）在（0，+∞）上存在最小值，且为$\frac{4{a}^{2}-1}{4a}$；
当a＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，-a＜$\frac{4{a}^{2}-1}{4a}$，则f（x）在（0，+∞）上不存在最小值．
综上可得，实数a的取值范围为（0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]；
（2）方程f（x）=|x|有两个实数根，
即为ax²-|x-a|=|x|有两个实数根．
当a=0时，x=0，不成立；a＜0，显然不成立，
当a＞0时，令g（x）=ax²-|x-a|-|x|
=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+2x-a，x＜0}\\{a{x}^{2}-a，0≤x≤a}\\{a{x}^{2}-2x+a，x＞a}\end{array}\right.$，
当x＜0时，判别式为4+4a²＞0，则g（x）=0必有一个负根，
当0≤x≤a，且a＜1时，g（x）=0无实数根，当a=1或a＞1时，g（x）=0有一个根；
当x＞a时，当a=1时，解得x=1，g（x）=0无实数根，
当a＞1时，判别式为4-4a²＜0，则g（x）=0无实数根，
当0＜a＜1时，g（x）=0的两根为x=$\frac{1±\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，必有$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$＞a成立，
即有0＜a＜1时，g（x）=0必有一根．
综上可得，当0＜a≤1或a＞1，即有a＞0时，方程f（x）=|x|有两个实数根．
则实数a的取值范围为（0，+∞）．

点评 本题考查绝对值函数的最值和二次方程的根的分布，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．