Question

19．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，S是△ABC的面积，且sinA=$\frac{2S}{{a}^{2}{-c}^{2}}$
（1）证明：∠A=2∠C；
（2）若2c²，a²，b²成等差数列，求角B的值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理以及三角形的面积公式，以及和差化积公式即可证明：∠A=2∠C；
（2）根据等差数列的定义以及（1）的结论建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（1）∵sinA=$\frac{2S}{{a}^{2}{-c}^{2}}$，
∴sinA=$\frac{2S}{{a}^{2}{-c}^{2}}$=$\frac{2×\frac{1}{2}acsinB}{（a+c）（a-c）}$，
即a=$\frac{acb}{（a-c）（a+c）}$，
则bc=（a+c）（a-c），
由正弦定理得sinBsinC=（sinA+sinC）（sinA-sinC），
即sinBsinC=2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$×2cos$\frac{A+C}{2}$sin$\frac{A-C}{2}$=2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A+C}{2}$2sin$\frac{A-C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=2sin（A+C）sin（A-C）=sinBsin（A-C），
即sinC=sin（A-C），
则C=A-C，即A=2C．
（2）2c²，a²，b²成等差数列，
则2c²+b²=2a²，即2（a²-c²）=b²，
由（1）知bc=（a+c）（a-c）=a²-c²，
∴2bc=b²，
即b=2c，
解得a=$\sqrt{3}c$，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3{c}^{2}+{c}^{2}-4{c}^{2}}{2ac}=0$，
即B=90°．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及三角形的面积公式，等差数列的性质建立方程关系是解决本题的关键．