Question

8．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$．
（1）当a=$\frac{9}{2}$时，求f（x）在定义域上的单调区间；
（2）若f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围，并在此范围下讨论关于x的方程f（x）=x²-2x+3的解的个数．

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{9}{2}$时，求出f（x），然后求f′（x），根据该导数的符号判断函数f（x）的单调区间即可；
（2）求f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$，从而得到x²+（2-a）x+1≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，根据判别式的取值情况并结合二次函数的图象即可求出a的范围．而判断方程f（x）=x²-2x+3解的个数，就是判断函数f（x）和函数x²-2x+3的交点个数，容易发现函数f（x）递增的速度小于lnx递增的速度，从而通过函数f（x）和x²-2x+3的图象即可找到原方程解的个数．

解答 解：（1）a=$\frac{9}{2}$时，f（x）=$lnx+\frac{9}{2（x+1）}$，f′（x）=$\frac{（x-2）（2x-1）}{2x（x+1）^{2}}$；
∴x$∈（0，\frac{1}{2}），（2，+∞）$时，f′（x）＞0；x$∈（\frac{1}{2}，2）$时，f′（x）＜0；
∴f（x）在定义域上的单调增区间为（0，$\frac{1}{2}$），（2，+∞），单调减区间为$[\frac{1}{2}，2]$；
（2）f′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-a）x+1}{x（x+1）^{2}}$；
f（x）在（0，+∞）上为增函数；
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
∴x²+（2-a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立；
设g（x）=x²+（2-a）x+1，则：
①若△=（2-a）²-4≤0，即0≤a≤4时，满足g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
②若△＞0，即a＜0，或a＞4时，∵g（0）=1＞0，∴a还需满足：$\frac{a-2}{2}＜0$；
∴a＜2；
∴此种情况下a＜0；
综上得a的取值范围为（-∞，4]；
由于当x趋向0时，lnx$+\frac{a}{x+1}$趋向负无穷；x趋向正无穷时，lnx+$\frac{a}{x+1}$趋向正无穷，所以画出函数y=lnx+$\frac{a}{x+1}$和y=x²-2x+3的图象如下：

只要a≤4，函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$递增的速度都小于lnx递增的速度；
∴y=lnx的图象会在直线y=x的下方，而y=x²-2x+3的图象在y=x的上方；
∴函数y=lnx+$\frac{a}{x+1}$和y=x²-2x+3的图象没有交点；
∴原方程无解．

点评 考查函数导数符号和函数单调性的关系，根据导数求函数单调区间的方法和过程，当二次函数在区间（0，+∞）上恒大于0时，能够限制函数中的系数，熟悉并能画出二次函数图象，以及根据递增速度画函数图象，以及根据图象求方程解的方法．