Question

16．设函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（πx+$\frac{π}{3}$）和g（x）=sin（$\frac{π}{6}$-πx）的图象在y轴左、右两侧靠近y轴的交点分别为M，N，已知O为原点，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$-\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 令f（x）=g（x），根据题意，通过三角函数的辅助角公式，计算可得M、N点坐标，再利用数量积的坐标运算即得结果．

解答 解：根据题意，令f（x）=g（x），即f（x）-g（x）=0，
则$\sqrt{3}$sin（πx+$\frac{π}{3}$）-sin（$\frac{π}{6}$-πx）=$\sqrt{3}$sin（πx+$\frac{π}{3}$）-cos（πx$+\frac{π}{3}$）
=$2sin（πx+\frac{π}{3}-\frac{π}{6}）$
=$2sin（πx+\frac{π}{6}）$=0，
所以$πx+\frac{π}{6}=kπ$，其中k∈Z，
化简，得$x=k-\frac{1}{6}$，k∈Z，
所以M（-$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（$\frac{5}{6}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=（-$\frac{1}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）•（$\frac{5}{6}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{1}{6}$×$\frac{5}{6}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$-\frac{8}{9}$．

点评 本题考查三角函数的辅助角公式，数量积运算，注意解题方法的积累，属于中档题．