Question

7．椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左顶点为A，点B，C是椭圆E上的两个动点．若直线AB，AC的斜率乘积为定值-$\frac{1}{4}$，则动直线BC恒过定点的坐标为（1，0）．

Answer 1

分析 当斜率存在时，设出直线方程y=kx+m，再联立椭圆方程和直线方程，设出两个交点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），根据k_AB•k_AC=-$\frac{1}{4}$，找出k和m的关系，从而求定点；当斜率不存在时单独讨论．

解答 解：当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消去y得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
又A（-2，0），由题知k_AB•k_AC=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=-$\frac{1}{4}$，
则（x₁+2）（x₂+2）+4y₁y₂=0，且x₁，x₂≠-2，
则x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4+4（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+4k²）x₁x₂+（2+4km）（x₁+x₂）+4m2+4
=$\frac{（1+4{k}^{2}）（4{m}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}$+（2+4km）$\frac{-8km}{3+4{k}^{2}}$+4m2+4=0
则m²-km-2k²=0，
∴（m-2k）（m+k）=0，
∴m=2k或m=-k．
当m=2k时，直线BC的方程为y=kx+2k=k（x+2）．
此时直线BC过定点（-2，0），显然不适合题意．
当m=-k时，直线BC的方程为y=kx-k=k（x-1），此时直线BC过定点（1，0）．
当直线BC的斜率不存在时，若直线BC过定点（1，0），B、C点的坐标分别为（1，$\frac{3}{2}$），（1，-$\frac{3}{2}$），满足k_AB•k_AC=-$\frac{1}{4}$．
综上，直线BC过定点（1，0）．
故答案为：（1，0）．

点评 本题是圆锥曲线和直线位置关系的常见类型，都是通过设而不求的方法，联立方程组，再由题目中给定的等式，寻求量与量之间的关系，从而求得定点．另外，直线的斜率是否存在也是需要讨论的情况．这在高考中是常考题型．