Question

4．设二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则$\frac{1}{c}$+$\frac{16}{a}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 8
• D． 17

Answer 1

分析 由二次函数f（x）的值域为[0，+∞）知a＞0，且△=0，从而得到ac=4，并且c＞0，根据基本不等式即可求$\frac{1}{c}+\frac{16}{a}$的最小值．

解答 解：根据题意知$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16-4ac=0}\end{array}\right.$；
ac=4，c＞0；
∴$\frac{1}{c}+\frac{16}{a}≥8\sqrt{\frac{1}{ac}}=4$；
∴$\frac{1}{c}+\frac{16}{a}$的最小值为4．
故选B．

点评 考查二次函数的值域为[0，+∞）时，二次项系数的符号及判别式△的取值情况，以及基本不等式：a$+b≥2\sqrt{ab}，a＞0，b＞0$的运用．