Question

3．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F（c，0），直线l是椭圆C在点B处的切线．设点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=2$\sqrt{2}$c时，△AFD是等腰三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设椭圆C的长轴长等于4，当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，结合给定的条件，得到a=2c，然后，确定其离心率即可；
（Ⅱ）分情况进行讨论，然后，结合直线与圆相切的条件进行判断即可．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，得直线l与x轴垂直，
∵当|BD|=2$\sqrt{2}$c时，有△AFD是等腰三角形．
∴AF=DF，
∴（a+c）²=（a-c）²+（2$\sqrt{2}c$）²，
∴a=2c，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF的位置关系是相切，证明如下：
∵椭圆C的长轴长等于4，
∴a=2，A（-2，0），B（2，0），
根据（Ⅰ），得椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
设直线l的方程为：y=k（x+2），
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，并整理，得
（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
设点P的坐标为（x₀，y₀），则
-2x₀=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴x₀=$\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，
因为点F（1，0），
（1）当k=±$\frac{1}{2}$时，点P坐标为（1，±$\frac{3}{2}$），直线PF的方程为x=1，
点D的坐标为（2，±2），此时，以BD为直径的圆与直线PF相切；
（2）当k≠±$\frac{1}{2}$时，直线PF的斜率为${k}_{PF}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}$，
直线PF的方程为：y=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}（x-1）$，
∴x-$\frac{1-4{k}^{2}}{4k}y-1=0$，
∴点E到直线PF的距离为d=$\frac{|2-\frac{1-4{k}^{2}}{4k}×2k-1|}{\sqrt{1+（\frac{1-4{k}^{2}}{4k}）^{2}}}$=2|k|，
∵|BD|=2R=4|k|，
∴以BD为直径的圆与直线PF相切．

点评 本题重点考查了椭圆的简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识．