Question

18．已知函数f（x）=（x+$\frac{a}{x}$）e^x，a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a=-1时，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（Ⅲ）若f（x）在区间（0，1）上有且只有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求函数f（x）=（x+$\frac{a}{x}$）e^x的定义域并求导f′（x）=$\frac{{x}^{3}+{x}^{2}+ax-a}{{x}^{2}}$e^x；
（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xe^x，f′（x）=（x+1）e^x，从而由导数的几何意义写出切线方程即可；
（Ⅱ）当a=-1时，f′（x）=$\frac{{x}^{3}+{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}}$e^x，再令g（x）=x³+x²-x+1，故只需利用导数证明函数g（x）的单调性并求最值，从而证明g（x）＞0即可．
（Ⅲ）先求导f′（x）=$\frac{{x}^{3}+{x}^{2}+ax-a}{{x}^{2}}$e^x；再设h（x）=x³+x²+ax-a，h′（x）=3x²+2x+a，故由导数知分a＞0，a=0与a＜0分别讨论即可．

解答 解：函数f（x）=（x+$\frac{a}{x}$）e^x的定义域为{x|x≠0}，f′（x）=$\frac{{x}^{3}+{x}^{2}+ax-a}{{x}^{2}}$e^x；
（Ⅰ）当a=0时，f（x）=xe^x，f′（x）=（x+1）e^x，
所以f（1）=e，f′（1）=2e；
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-e=2e（x-1），
即2ex-y-e=0；
（Ⅱ）证明：当a=-1时，f′（x）=$\frac{{x}^{3}+{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}}$e^x，
设g（x）=x³+x²-x+1，则g′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
故g（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上是减函数，在（$\frac{1}{3}$，+∞）上是增函数，
所以g（x）≥g（$\frac{1}{3}$）=$\frac{22}{27}$＞0，
所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）=$\frac{{x}^{3}+{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}}$e^x＞0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（Ⅲ）f′（x）=$\frac{{x}^{3}+{x}^{2}+ax-a}{{x}^{2}}$e^x；
设h（x）=x³+x²+ax-a，h′（x）=3x²+2x+a，
（1）当a＞0时，h′（x）＞0恒成立，
故h（x）在（0，+∞）上为增函数；
而h（0）=-a＜0，h（1）=2＞0，
故函数h（x）在（0，1）上有且只有一个零点，
故这个零点为函数f（x）在区间（0，1）上的唯一的极小值点；
（2）当a=0时，x∈（0，1）时，h′（x）=3x²+2x＞0，
故h（x）在（0，1）上为增函数；
又h（0）=0，
故f（x）在（0，1）上为增函数；
故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值；
（3）当a＜0时，h（x）=x³+x²+a（x-1），
当x∈（0，1）时，总有h（x）＞0成立，
即f（x）在（0，1）上为增函数；
故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值；
综上所述，a＞0．

点评 本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于中档题．