Question

19．将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n（n∈N^*）次，则第一次挖去的几何体的体积是$\frac{1}{2}$，这n次共挖去的所有几何体的体积和是$1-\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，先求出挖去一个角所在四面体的体积，得到挖去四个四面体的体积，由此分析可知每一次挖去的几何体的体积构成以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，然后由等比数列的前n项和求得n次共挖去的所有几何体的体积和．

解答 解：如图，

设四面体A-BCD的底面积为S，高AO=h₁，
挖去以三条棱的中点E、F、G及A为顶点的四面体，挖去的四面体的体积为原四面体A-BCD体积的八分之一，
其它三个角挖去四面体的体积也等于原四面体A-BCD体积的八分之一，
则第一次挖去的几何体的体积为原四面体体积的一半，等于$\frac{1}{2}$；
依此类推，第二次挖去的几何体的体积为$\frac{1}{4}$，即每一次挖去的几何体的体积构成以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴n次共挖去所有几何体的体积和为：S=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$；1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查了等比数列的前n项和，是中档题．