练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    2．已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NP}$成公差小于零的等差数列．
    （1）求证：x2+y2=3（x＞0）
    （2）若点P坐标为（x0，y0），记θ为$\overrightarrow{PM}$与$\overrightarrow{PN}$的夹角，求tanθ．

    分析 （1）设出要求轨迹的点的坐标，根据所给的两个点的坐标写出要用的向量，做出向量的数量积，根据$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NP}$成公差小于零的等差数列，列出不等式和等式，整理整式得到结果．
    （2）求两个向量的夹角，根据球向量夹角的公式，先用求出数量积和模的乘积，求出角的余弦值，根据同角的三角函数的关系，用已知条件表示出tanθ

    解答 解：（1）记P（x，y），由M（-1，0），N（1，0）得$\overrightarrow{PM}$=（-1-x，-y），
    $\overrightarrow{PN}$=（1-x，-y），$\overrightarrow{MN}$=（2，0），$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}$=2（x+1）
    ∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=x2+y2-1，$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NP}$=2（1-x），
    ∵$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{NM}•\overrightarrow{NP}$是公差小于零的等差数列
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}2+{y}^{2}-1=\frac{1}{2}[2（1+x）+2（1-x）]}\\{2（1-x）-2（1+x）＜0}\end{array}\right.$
    即x2+y2=3（x＞0），
    ∴点P的轨迹是以原点为圆心，$\sqrt{3}$为半径的右半圆．
    （2）点P的坐标为（x0，y0），则x02+y02=3，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=x02+y02-1=2，
    ∵|$\overrightarrow{PM}$|•|$\overrightarrow{PN}$|=$\sqrt{（1+{x}_{0}）^{2}{{+y}_{0}}^{2}}•\sqrt{（1-{x}_{0}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$
    =$\sqrt{（4+2{x}_{0}）（4-2{x}_{0}）}$=2$\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}$，
    ∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}}{|\overrightarrow{PM}||\overrightarrow{PN}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4-{{x}_{0}}^{2}}}$，
    ∵0＜x0≤$\sqrt{3}$，
    ∴$\frac{1}{2}$＜cosθ≤1，0≤θ＜$\frac{π}{3}$，
    sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4-{{x}_{0}}^{2}}}$，
    tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$
    =$\sqrt{3-{{x}_{0}}^{2}}$=|y0|．

    点评 这是一个求轨迹的问题，考查利用向量的数量积求向量的夹角、等差数列的定义，同角的三角函数关系，综合性较强．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    12．已知A={x|log2x＜2}，B={x|1＜x＜5}，则A∪B=（　　）
    A．{x|x＜5}B．{x|x＞1}C．{x|0＜x＜5}D．{x|1＜x＜4}

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    13．函数f（x）=$\frac{（x-1）^{0}}{\sqrt{\frac{1}{2}-lo{g}_{2}x}}$的定义域用区间表示为（0，1）∪（1，$\sqrt{2}$）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    10．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=15°，C=45°，c=4，则最大边长为（　　）
    A．$\sqrt{2}$B．2$\sqrt{2}$C．$\sqrt{3}$D．2$\sqrt{6}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    17．已知f′（x）是函数f（x）=x4+3x-2015的导函数，则f′（-1）等于（　　）
    A．-2014B．0C．-1D．2

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    7．化简：$\frac{cos（-α）•tan（7π+α）}{sin（π+α）}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    14．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4t}\\{y=-1-3t}\end{array}\right.$（t为参数），设点P（1，-1），直线l与曲线C交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    17．如图1所示，正方形ABCD的边长为1，E是CD上异于C，D的动点，点F在BC上，且EF与正方形ABCD的对角线BD平行，H是正方形ABCD的对角线AC与EF的交点，N是正方形ABCD两对角线的交点，现沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，如图2，使PH⊥AH，记CE=x，V（x）表示五棱锥P-ABFED的体积．
    （1）求证：BD⊥平面APH
    （2）求V（x）的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    18．已知底面为正三角形的三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别是A1B1，AA1的中点，F是AB边上的点，且FB=3AF，连接EF、DB、C1B、C1D．
    （Ⅰ）求证：平面BC1D⊥平面ABB1A1；
    （Ⅱ）在线段AC上，是否存在一点M，使得平面FEM∥平面BC1D，若存在，请找出点M的位置，并证明平面FEM∥平面BC1D，若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案