Question

9．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂的坐标为（c，0），若b=c，且点（c，1）在椭圆Γ上．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）当k≠0时，若直线l₁：y=k（x+$\sqrt{2}$）与椭圆r的交点为A，B；直线l₂：y=k（$\sqrt{2}$x+1）与圆E：x²+y²=1的交点为M，N，记△AOB和△MON的面积分别为S₁，S₂，其中O为坐标原点，证明$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的a，b，c的关系和点满足椭圆方程，解方程即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（2）运用点到直线的距离公式，将直线l₁的方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，由三角形的面积公式可得S₁，再由直线和圆相交的弦长公式，结合原点到直线l₂的距离和三角形的面积公式可得S₂，计算即可得到定值．

解答 解：（1）由题意可得b=c，a²=b²+c²=2c²，
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
则椭圆Γ的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）证明：将直线l₁：y=k（x+$\sqrt{2}$）代入椭圆方程x²+2y²=4，
可得（1+2k²）x²+4$\sqrt{2}$k²x+4k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由椭圆的定义可得|AB|=2+ex₁+2+ex₂=4+e（x₁+x₂）
=4+$\frac{\sqrt{2}}{2}$•（-$\frac{4\sqrt{2}{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
又原点到直线l₁的距离为d₁=$\frac{|\sqrt{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
即有S₁=$\frac{1}{2}$|AB|•d₁=$\frac{2\sqrt{2}|k|•\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$；
原点到直线l₂的距离d₂=$\frac{|k|}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
由弦长公式可得|MN|=2$\sqrt{1-\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$，
即有S₂=$\frac{1}{2}$|MN|d₂=$\frac{|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
则有$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$为定值，且为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查直线方程和椭圆的方程联立，运用韦达定理，同时考查点到直线的距离公式和直线和圆相交的弦长公式，属于中档题．