Question

18．如图，三棱锥A-BCD中，已知：AB=AC=CD=DB=$\sqrt{3}$，BC=AD=2，求证：面ABC⊥面BCD．

Answer 1

分析 取BC的中点E，利用面面垂直的判定定理，证明AE⊥平面BCD，即可．

解答 证明：取BC的中点E，连结AE，DE，
∵AB=AC=CD=DB=$\sqrt{3}$，
∴AE⊥BC，DE⊥BC，
∵BC=AD=2，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$，
即AE²+DE²=AD²，
∴AE⊥DE，
∵CE∩DE=E，
∴AE⊥平面BCD，
∵AE?平面ABC，
∴面ABC⊥面BCD

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定，利用三角形的边长关系证明AE⊥平面BCD是解决本题的关键．