Question

6．已知平面内一封闭曲线C上的任意点M与两定点O（0，0），P（0，3）的距离之比为2．
（1）求封闭曲线C的方程；
（2）过曲线上的一点N作圆O：x²+y²=1的两条切线，切点分别为A，B．切线NA，NB分别交x轴于D，E两点．问：
①若N的坐标为（$\sqrt{3}$，5），求|DE|的长度；
②是否存在这样点N，使得线段DE被曲线C在点N处的切线平分？若存在，求出点N的纵坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），利用封闭曲线C上的任意点M与两定点O（0，0），P（0，3）的距离之比为2，可得封闭曲线C的方程；
（2）①求出切线方程，可得D，E的坐标，即可求|DE|的长度；
②设存在点N（x₀，y₀）满足条件，设过点N且与圆O相切的直线方程为：y-y₀=k（x-x₀）通过点到直线的距离公式，求出直线NA，NB的斜率分别为k₁，k₂的关系，通过圆C在点N处的切线方程，求出切线与x轴的交点坐标，D，E的坐标，然后利用斜率关系式求出点N的纵坐标．

解答 解：（1）设M（x，y），则
∵封闭曲线C上的任意点M与两定点O（0，0），P（0，3）的距离之比为2，
∴$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}}$=2
∴x²+（y-4）²=4；
（2）①设切线方程为y-5=k（x-$\sqrt{3}$），即kx-y+5-$\sqrt{3}$k=0，
∴$\frac{|5-\sqrt{3}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴k=$\sqrt{3}$或4$\sqrt{3}$，
k=$\sqrt{3}$，令y=0，可得x=-$\frac{2}{\sqrt{3}}$；k=4$\sqrt{3}$，令y=0，可得x=$\frac{7}{4\sqrt{3}}$；
∴|DE|=$\frac{7}{4\sqrt{3}}$+$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$；
②设存在点N（x₀，y₀）满足条件
设过点N且与圆O相切的直线方程为：y-y₀=k（x-x₀）
则由题意得，$\frac{|-k{x}_{0}+{y}_{0}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，化简得$（{{x}_{0}}^{2}-1）{k}^{2}-2{x}_{0}{y}_{0}k+{{y}_{0}}^{2}-1=0$
设直线NA，NB的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-1}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-1}{{{x}_{0}}^{2}-1}$
圆C在点N处的切线方程为y-y₀=$\frac{-{x}_{0}}{{y}_{0}-4}$（x-x₀）
令y=0，得切线与x轴的交点坐标为（$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4{y}_{0}}{{x}_{0}}+{x}_{0}$，0）
又得D，E的坐标分别为（$\frac{-{y}_{0}}{{k}_{1}}+{x}_{0}$，0），（$\frac{-{y}_{0}}{{k}_{2}}+{x}_{0}$，0）
由题意知，2（（$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4{y}_{0}}{{x}_{0}}+{x}_{0}$）=$\frac{-{y}_{0}}{{k}_{1}}+{x}_{0}$+$\frac{-{y}_{0}}{{k}_{2}}+{x}_{0}$
用韦达定理代入可得，$\frac{{y}_{0}-4}{{x}_{0}}=\frac{-{x}_{0}{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}-1}$，与x₀²+（y₀-4）²=4联立，
得y₀=$\frac{13+\sqrt{105}}{8}$．

点评 本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，圆的切线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．