Question

4．已知命题p：?x∈R，x+|x-a|＞3恒成立，命题q：函数f（x）=lg[-x²+（a-2）x+2a]在区间（1，2）上单调递减．
（1）若p∨（￢q）是假命题，求实数a的取值集合A；
（2）设函数g（x）=4^x-m•2^x+25，在（1）的前提下，当x∈A时，关于x的方程g（x）=0只有一个实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先通过去绝对值，复合函数及二次函数的单调性求出命题p，q为真时a的取值范围：p为真，a＞3，q为真，2＜a≤4，然后由p∨（￢q）为假可以判断出p假q真，这样求出p假和q真时的a的取值范围再求交集即可；
（2）由上面知A=（2，3]，换元，令2^x=t，（4＜t≤8），便得到函数G（t）=t²-mt+25，进而得到方程G（t）=0在区间（4，8]上只有一个实数根，从而需满足G（4）g（8）≤0，解不等式即可得到m的取值范围．

解答 解：（1）若p为真，$x+|x-a|=\left\{\begin{array}{l}{2x-a＞3}&{x≥a}\\{a＞3}&{x＜a}\end{array}\right.$；
解2x-a＞3得，x$＞\frac{3+a}{2}$；
要对任意的x≥a，2x-a＞3成立，则：$\frac{3+a}{2}＜a$；
∴a＞3；
若q为真，设h（x）=-x²+（a-2）x+2a，根据复合函数的单调性，h（x）在（1，2）上单调递减，且h（x）＞0；
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}≤1}\\{h（1）=3a-3＞0}\\{h（2）=4a-8＞0}\end{array}\right.$；
解得2＜a≤4；
若p∨（￢q）为假命题，则p假q真；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤3}\\{2＜a≤4}\end{array}\right.$；
∴实数a的取值集合A=（2，3]；
（2）设2^x=t，（4＜t≤8）；
∴得到函数t²-mt+25，设G（t）=t²-mt+25，则方程G（t）=0在（4，8]上只有一个实根；
∴G（4）•G（8）≤0；
∴（41-4m）（89-8m）≤0；
解得$\frac{41}{4}≤m≤\frac{89}{8}$；
∴实数m的取值范围为$[\frac{41}{4}，\frac{89}{8}]$．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，复合函数和二次函数的单调性特点，p∨q，￢q的真假和p，q真假的关系，以及指数函数、对数函数的单调性，通过换元解题的方法．