Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：x＞1时，x+（x-3）e${\;}^{\frac{x}{2}}$lnx＞0．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，从而求出函数f（x）的单调区间；
（2）通过求导得到g（x）的单调性，进而有g（x）≤g（2），推出x＞1时，f（x）＞g（x），从而证出结论．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，定义域为：（0，1）∪（1，+∞），
∴f′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{{（lnx）}^{2}}$，
由f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{e}$，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜1或1＜x＜$\sqrt{e}$，
∴f（x）在（$\sqrt{e}$，+∞）单调递增，在（0，1）和（1，$\sqrt{e}$）单调递减；
（2）由（1）知：当x＞1时，f（x）_最小值=f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{ln\sqrt{e}}$=2e，
令g（x）=（-x²+3x）${e}^{\frac{x}{2}}$，x∈（1，+∞），则g′（x）=-$\frac{1}{2}$（x-2）（x+3）${e}^{\frac{x}{2}}$，
由g′（x）＞0得g（x）在（1，2）单调递增，
由g′（x）＜0得g（x）在（2，+∞）单调递减，
∴g（x）≤g（2）=2e，
∴x＞1时，f（x）＞g（x），
即x+（x-3）e${\;}^{\frac{x}{2}}$lnx＞0．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．