Question

7．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在棱AA₁上，且∠ACB=90°，AA₁=BC=2，AC=1．
（1）若D为AA₁的中点，试求三棱锥C₁-A₁B₁D的体积；
（2）若二面角B₁-DC-C₁的大小为60°，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由已知可得B₁C₁⊥面ACC₁A₁，然后利用等积法把求三棱锥C₁-A₁B₁D的体积转化为求三棱锥B₁-A₁C₁D的体积求解；
（2）在面ACC₁A₁内过C₁作C₁E⊥CD，交CD或延长线于E，连EB₁，由三垂线定理可知∠B₁EC₁为二面角B₁-DC-C₁的平面角，设出AD的长度，然后通过解三角形求解AD的长．

解答 解：（1）如图，
∵CC₁⊥B₁C₁，B₁C₁⊥A₁C₁，
∴B₁C₁⊥面ACC₁A₁，
又AA₁=BC=2，AC=1，D为AA₁的中点，
∴${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}D}$=${V}_{{B}_{1}-{A}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2=\frac{1}{3}$；
（2）由（1）可知B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，
在面ACC₁A₁内过C₁作C₁E⊥CD，交CD或延长线于E，连EB₁，
由三垂线定理可知∠B₁EC₁为二面角B₁-DC-C₁的平面角，
∴∠B₁EC₁=60°
由B₁C₁=2，知${C}_{1}E=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
设AD=x，则$DC=\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∵△DC₁C的面积为1，
∴$\frac{1}{2}•\sqrt{{x}^{2}+1}•\frac{2\sqrt{3}}{3}=1$．
解得$x=\sqrt{2}$．
即AD=$\sqrt{2}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．