Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=PD=1，CD=2，E为PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求求三棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）令PD中点为F，连接EF，由已知条件推导出四边形FABE为平行四边形，由此能证明BE∥面PAD．
（2）由题意，三棱锥C-BDE的高为$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$，即可求三棱锥C-BDE的体积．

解答 （1）证明：令PD中点为F，连接EF，
∵点E，F分别是△PCD的中点，
∴EF平行且等于$\frac{1}{2}$CD，∴EF平行且等于AB．
∴四边形FABE为平行四边形．
∴BE∥AF，AF?平面PAD，EF?平面PAD，
∴BE∥面PAD；
（2）解：由题意，三棱锥C-BDE的高为$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$，
∴三棱锥C-BDE的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥C-BDE的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．