Question

12．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²在[1，2]上有且仅有一个零点，求a的取值范围；
（3）已知当x＞-1，n≥1时，（1+x）ⁿ≥1+nx，求证：当n∈N^*，x≤n时，不等式n-n（1-$\frac{x}{n}$）ⁿe^x≤x²成立．

Answer 1

分析 （1）分a≤0、a＞0两种情况，讨论f′（x）的正负即可；
（2）由题易得a=$\frac{{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-1}{x}$，利用零点的存在性定理，考查g（x）=$\frac{{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-1}{x}$ （x＞0）在[1，2]上的单调性即可；
（3）通过变形，问题等价于证明$n（1-\frac{x}{n}）^{n}{e}^{x}≥n-{x}^{2}$成立，通过（1）知${e}^{\frac{x}{n}}≥1+\frac{x}{n}$，利用$-\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}＞-1$、及（1+x）ⁿ≥1+nx，化简即得$n（1-\frac{x}{n}）^{n}{e}^{x}≥n-{x}^{2}$•

解答 解：（1）∵函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R），
∴f′（x）=e^x-a，令f′（x）=0，解得x=lna，
当a≤0时，f′（x）≥0，则f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（-∞，lna）上单调递减，f（x）在（lna，+∞）上单调递增；
（2）∵F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²=0，∴a=$\frac{{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-1}{x}$，
考查g（x）=$\frac{{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-1}{x}$ （x＞0），则g′（x）=$\frac{（x-1）{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=$（x-1）{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}+1$，则h′（x）=x（e^x-1），
当1≤x≤2时，h′（x）＞0，则h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（x）≥h（1）=$\frac{1}{2}＞$0，g′（x）＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，
∴g（x）=$\frac{{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}-1}{x}$在[1，2]上的最小值为g（1）=e-$\frac{3}{2}$，
最大值为g（2）=$\frac{1}{2}（{e}^{2}-3）$，
∴当$e-\frac{3}{2}≤a≤\frac{1}{2}（{e}^{2}-3）$时，函数F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²在[1，2]上有且仅有一个零点；
（3）n-n（1-$\frac{x}{n}$）ⁿe^x≤x²等价于$n（1-\frac{x}{n}）^{n}{e}^{x}≥n-{x}^{2}$，
由（1）知e^x≥1+x，∴${e}^{\frac{x}{n}}≥1+\frac{x}{n}$，
∵x²＜n，且n∈N^*，∴x²＜n≤n²，∴$-\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}＞-1$，
又∵（1+x）ⁿ≥1+nx，
∴n（1-$\frac{x}{n}$）ⁿe^x=$n[（1-\frac{x}{n}）{e}^{\frac{x}{n}}]^{n}$
≥$n[（1-\frac{x}{n}）（1+\frac{x}{n}）]^{n}$
=$n（1-\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}）^{n}$
≥$n（1-n\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}）$
=n-x²•

点评 本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题，注意解题方法的积累，属于难题．