Question

18．已知z₁、z₂是两个虚数，且z₁+z₂与z₁z₂均为实数，求证：z₁、z₂是共轭复数．

Answer 1

分析 设出复数z₁、z₂，由z₁、z₂是虚数，且z₁+z₂与z₁z₂均为实数列式求得两个复数的实部和虚部的关系得答案．

解答 证明：设z₁=a+bi（a，b∈R），z₂=c+di（c，d∈R），
则z₁+z₂=（a+c）+（b+d）i，
z₁z₂=（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i，
∵z₁+z₂与z₁z₂均为实数，
∴b+d=0，d=-b，
z₂=c-bi，
则z₁z₂=（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i
=（ac+b²）+（bc-ab）i是实数，
∴bc-ab=0，
又z₁=a+bi是虚数，∴b≠0，∴c-a=0，即c=a，
∴z₁=a+bi，z₂=a-bi，z₁、z₂是共轭虚数．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．