Question

8．已知函数 f（x）=|x-2|+|x+1|
（Ⅰ）解关于x的不等式 f（x）≥4-x；
（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较 2（a+b）与ab+4的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对x讨论，当x＜-1时，当-1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；
（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）当x＜-1时，f（x）=1-2x，f（x）≥4-x即为1-2x≥4-x，解得x≤-3，即为x≤-3；
当-1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）≥4-x即为3≥4-x，解得x≥1，即为1≤x≤2；
当x＞2时，f（x）=2x-1，f（x）≥4-x即为2x-1≥4-x，解得x≥$\frac{5}{3}$，即为x＞2．
综上可得，x≥1或x≤-3．
则解集为（-∞，-3]∪[1，+∞）；
（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，
2（a+b）-（ab+4）=2a-ab+2b-4=（a-2）（2-b），
由于a≥3，b≥3，则a-2＞0，2-b＜0，
即有（a-2）（2-b）＜0，
则2（a+b）＜ab+4．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和作差法比较两数的大小，属于中档题．