Question

13．已知直线l₁：2x-y-5=0；直线l₂：x+y-5=0．
（Ⅰ）求点P（3，0）到直线l₁的距离；
（Ⅱ）直线m过点P（3，0），与直线l₁、直线l₂分别交与点M、N，且点P是线段MN的中点，求直线m的一般式方程； 
（Ⅲ）已知⊙Q是所有过（Ⅱ）中的点M、N的圆中周长最小的圆，求⊙Q的标准方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点P（3，0）与直线l₁的解析式，利用点到直线的距离公式求出点P到直线l₁的距离即可；
（Ⅱ）由题意设出直线m的方程，分别与已知两直线联立表示出两交点坐标，利用中点坐标公式表示出线段MN中点纵坐标，根据纵坐标为0求出k的值，即可确定出直线m的一般式方程；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中k的值确定出M与N坐标，在所有过M、N的圆中，以线段MN为直径的圆的周长最小，确定出此时圆Q的圆心与半径，即可求出圆Q的标准方程．

解答 解：（Ⅰ）点P（3，0）到直线l₁的距离d=$\frac{|6-0-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅱ）由题意，设直线m：y=kx-3k，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-5=0}\\{y=kx-3k}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3k-5}{k-2}}\\{y=\frac{k}{k-2}}\end{array}\right.$，即M（$\frac{3k-5}{k-2}$，$\frac{k}{k-2}$），
再由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-5=0}\\{y=kx-3k}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3k+5}{k+1}}\\{y=\frac{2k}{k+1}}\end{array}\right.$，即N（$\frac{3k+5}{k+1}$，$\frac{2k}{k+1}$），
由中点坐标公式得：$\frac{\frac{k}{k-2}+\frac{2k}{k+1}}{2}$=0，解得：k=0或k=1，
经检验，当直线m的斜率不存在或k=0时皆不满足题意，舍去，故k=1，
则所求直线方程为y=x-3；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：把k=1分别代入M、N中，得M（2，-1），N（4，1），
在所有过M、N的圆中，以线段MN为直径的圆的周长最小，
即圆Q的半径r=$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（2-4）^{2}+（-1-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，圆心Q与点P（3，0）重合，
则圆Q的标准方程为（x-3）²+y²=2．

点评 此题考查了直线与圆方程的应用，以及圆的标准方程，涉及的知识有：直线与直线的交点，点到直线的距离公式，线段中点坐标公式，根据题意得出“在所有过M、N的圆中，以线段MN为直径的圆的周长”最小是解本题第三问的关键．