Question

2．已知曲线C：mx²+4y²-4m=0（x≤0），点A（-2，0），若实数m与曲线C同时满足条件曲线C上存在B、C，使△ABC为正三角形，则实数m的取值范围是（-$\frac{4}{3}$，0）∪（0，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 根据已知条件可知m≠0，并且曲线C的方程可以变成$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{m}=1$，（x≤0），该曲线表示双曲线、椭圆，或圆的左半部分，根据这几个图形都关于x轴对称，所以得到是否存在满足条件的m，就是看曲线上是否存在一点使该点和A点的连线和x轴的夹角为30°，这样结合图形即可求出m的取值范围．

解答 解：容易判断符合条件的m≠0；
∴曲线C的方程可变成：
$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{m}=1$，该曲线表示双曲线、椭圆，或圆；
∴根据这几种图形的对称性，判断m是否能够满足条件，即判断能否在曲线上找到一点，使它和A点的连线与x轴夹角为30°；
①若m＜0，则曲线C是双曲线，如图，要存在点B和A点的连线和x轴的夹角为30°，需该双曲线的渐近线和x轴的夹角小于30°；
∴$\frac{\sqrt{-m}}{2}＜tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$m＞-\frac{4}{3}$；
∴此时$-\frac{4}{3}＜m＜0$；
②若0＜m＜4，曲线C表示焦点在x轴的椭圆，如图，
要满足条件，需椭圆的上顶点和A点的连线和x轴的夹角小于等于30°；
∴$\frac{\sqrt{m}}{2}≤tan30°$；
∴$m≤\frac{4}{3}$；
∴此时0$＜m≤\frac{4}{3}$；
③若m=4，曲线C表示圆，并且是左半圆，圆和y轴的交点和A点的连线和x轴的夹角45°是左半圆的其它点和A点连线与x轴夹角的最小值，显然不合条件；
④若m＞4，曲线C表示焦点在y轴的椭圆，并且是左半椭圆，如图，
同②③，该椭圆的上顶点和A点的连线与x轴的夹角是该左半椭圆上其它点和A点的连线与x轴夹角的最小的；
显然该椭圆上顶点和A点的连线和x轴的夹角大于45°，所以不存在符合条件的m；
∴综上得m的取值范围为$（-\frac{4}{3}，0）∪（0，\frac{4}{3}]$．
故答案为：（$-\frac{4}{3}，0$）∪（0，$\frac{4}{3}$]．

点评 考查双曲线、椭圆，与圆的标准方程，双曲线的渐近线的概念，这几种图形关于y轴的对称性，以及数形结合解决问题的方法．