Question

11．已知函数f（x）=|x-1|+|x+3|，x∈R
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若不等式m²-3m＜f（x），对?x∈R都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用零点分区间的方法，讨论x＜-3，-3≤x≤1，x＞1去掉绝对值，解不等式，再求并集即可；
（2）运用绝对值不等式的性质，可得f（x）的最小值为4，再由不等式恒成立思想可得二次不等式，解得即可．

解答 解：（1）原不等式等价为$\left\{\begin{array}{l}{x＜-3}\\{-2-2x≤5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-3≤x≤1}\\{4≤5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{2x+2≤5}\end{array}\right.$，
可得-$\frac{7}{2}$≤x＜-3或-3≤x≤1或1＜x≤$\frac{3}{2}$，
则原不等式的解集为[-$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$]；
（2）由于f（x）=|x-1|+|x+3|≥|（x-1）-（x+3）|=4，
则f（x）的最小值为4，
由题意可得m²-3m＜f（x）_min，
即有m²-3m＜4，
解得-1＜m＜4．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．