Question

6．已知函数f（x）=x²+2px-2在区间[-2，0]上的最小值为g（p）．
（1）求g（p）的表达式；
（2）当g（p）=-3时，求f（x）在区间[-2，0]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）的图象的对称轴方程为x=-p，利用二次函数的性质，分类讨论求得f（x）在区间[-2，0]上的最小值为g（p）．
（2）由条件求得p的值，可得f（x）的解析式，从而利用二次函数的性质求得f（x）在区间[-2，0]上的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+2px-2=（x+p）²-p²-2 的图象的对称轴方程为x=-p，
当-p＜-2，即p＞2时，函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，f（x）在区间[-2，0]上的最小值为g（p）=f（-2）=2-4p；
当-p∈[-2，0]，即p∈[0，2]时，函数f（x）在区间[-2，0]上的最小值为f（-p）=-p²-2；
当-p＞0，即p＜0时，函数f（x）在区间[-2，0]上单调递减，f（x）在区间[-2，0]上的最小值为g（p）=f（0）=-2；
综上可得 g（p）=$\left\{\begin{array}{l}{2-4p，p＞2}\\{{-p}^{2}-2，p∈[0，2]}\\{-2，p＜0}\end{array}\right.$．
（2）当g（p）=-3时，则 $\left\{\begin{array}{l}{p＞2}\\{2-4p=-3}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{0≤p≤2}\\{{-p}^{2}-2=-3}\end{array}\right.$，求得p=1，∴函数f（x）=x²+2x-2=（x+1）²-3，
故当x∈[-2，0]时，故当x=0时，f（x）取得最大值为-2．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．