Question

14．已知函数f（x）=|mx|-|x-1|（m＞0），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（$\frac{4}{3}，\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 利用已知条件转化不等式，构造两个函数的图象，利用已知条件求出m的范围．

解答 解：函数f（x）=|mx|-|x-1|（m＞0），若关于x的不等式f（x）＜0，
可得|mx|＜|x-1|，令y=|mx|，y=|x-1|，两个函数的图象如图：关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，直线y=|mx|=-|m|x，x＜0，与y=1-x．x＜0时的交点在A、B之间，由图象可知A（-2，3），B（-3，4），
K_OA=-$\frac{3}{2}$，K_OB=$-\frac{4}{3}$，
可得$-\frac{3}{2}＜-\left|m\right|≤-\frac{4}{3}$，
即$\frac{3}{2}＞\left|m\right|≥\frac{4}{3}$，
又由m＞0，
则实数m的取值范围为：[$\frac{4}{3}，\frac{3}{2}$）．
故答案为：[$\frac{4}{3}，\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，函数的图形以及不等式的解法，考查转化思想以及数形结合思想的应用．