Question

5．以椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F₁，F₂，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）满足$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$=$\frac{\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}|}$，则${S}_{△PM{F}_{1}}$-S${\;}_{△PM{F}_{2}}$（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点M是△F₁PF₂的内心，利用三角形面积计算公式计算即可．

解答 解：∵椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
∴其顶点坐标为（3，0）、（-3，0），焦点坐标为（2，0）、（-2，0），
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$，
设点P（x，y），记F₁（-3，0），F₂（3，0），
∵$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$=$\frac{\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}|}$，
∴$\frac{[（-3，0）-（x，y）]•[（-3，0）-（2，1）]}{\sqrt{[（-3，0）-（x，y）]•[（-3，0）-（x，y）]}}$=$\frac{[（-3，0）-（3，0）]•[（-3，0）-（2，1）]}{3-（-3）}$，
整理得：$\frac{15+5x+y}{\sqrt{{x}^{2}+6x+9+{y}^{2}}}$=5，
化简得：5x=12y-15，
又∵$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$，
∴5$（\frac{12}{5}y-3）^{2}$-4y²=20，
解得：y=$\frac{5}{2}$或y=$\frac{25}{62}$（舍），
∴P（3，$\frac{5}{2}$），
∴直线PF₁方程为：5x-12y+15=0，
∴点M到直线PF₁的距离d=$\frac{|5×2-12+15|}{\sqrt{{5}^{2}+（-12）^{2}}}$=1，
易知点M到x轴、直线PF₂的距离都为1，
结合平面几何知识可知点M（2，1）就是△F₁PF₂的内心．
故${S}_{△PM{F}_{1}}$-${S}_{△PM{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}（|\overrightarrow{P{F}_{1}}|-|\overrightarrow{P{F}_{2}}|）×1$=$\frac{1}{2}×4×1$=2，
故选：A．

点评 本题考查椭圆方程，双曲线方程，三角形面积计算公式，注意解题方法的积累，属于中档题．