Question

10．已知tanα，tanβ是方程x²+px-q=0的两根．
（1）用p，q表示tan（α+β）；
（2）是否存在负数p，q使得sin²（α+β）+psin（α+β）cos（α+β）-qcos²（α+β）-p=2且pq=1？若存在，求出p，q的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）tanα，tanβ是方程x²+px-q=0的两根，所以根据根与系数的关系求出tanα+tanβ和tanαtanβ的值，然后利用两角和正切函数公式求出tan（α+β）的值．
（2）把所求的式子提取cos²（α+β）=$\frac{1}{1+{tan}^{2}（α+β）}$后得到关于tan（α+β）的关系式，把tan（α+β）的值代入已知条件，得到p、q的方程，利用pq=1求解即可．

解答 解：（1）由韦达达定理知$\left\{\begin{array}{l}tanα+tanβ=-p\\ tanα•tanβ=-q\end{array}\right.$，又tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=-$\frac{p}{1+q}$．
（2）sin²（α+β）+psin（α+β）cos（α+β）+qcos²（α+β）
sin²（α+β）+psin（α+β）cos（α+β）-qcos²（α+β）-p=2，
可得cos²（α+β）[tan²（α+β）+ptan（α+β）-q]=2+p，
cos²（α+β）[tan²（α+β）+ptan（α+β）-q]
即：$\frac{1}{1+{tan}^{2}（α+β）}$[tan²（α+β）+ptan（α+β）-q]
=$\frac{1}{1+\frac{{p}^{2}}{（1+{q）}^{2}}}$[$\frac{{p}^{2}}{{（1+q）}^{2}}$-$\frac{{p}^{2}}{1+q}$-q]
=$-\frac{q（{p}^{2}+{q}^{2}+2q+1）}{1+{p}^{2}+{q}^{2}+2q}$=-q=2+p．
即p+q+2=0．又pq=1，解得p=q=-1．

点评 考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用韦达定理解决数学问题，属于中档题