Question

20．已知函数f（x）=e^x-mx-n（m，n∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；
（Ⅱ）当n=0时，讨论函数f（x）在区间[-1，+∞）的单调性，并求最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过题意，将点（1，0）代入函数f（x）在x=0处的切线方程，即得结论；
（Ⅱ）当n=0时，由x≥-1可知${e}^{x}≥\frac{1}{e}$．对导函数f′（x）=e^x-m中的m分①$m≤\frac{1}{e}$、②$m＞\frac{1}{e}$两种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得f′（x）=e^x-m，
所以函数f（x）在x=0处的切线斜率k=1-m，
又f（0）=1-n，所以函数f（x）在x=0处的切线方程y-（1-n）=（1-m）x，
将点（1，0）代入，得m+n=2；
（Ⅱ）当n=0时，函数f（x）=e^x-mx的定义域为R，f′（x）=e^x-m．
∵x≥-1，∴${e}^{x}≥\frac{1}{e}$．
①当$m≤\frac{1}{e}$时，f′（x）≥0，函数f（x）在[-1，+∞）上单调递增，
从而${f}_{min}（x）=f（-1）=\frac{1}{e}+m$，无最大值；
②当$m＞\frac{1}{e}$时，由f′（x）=e^x-m=0，解得x=lnm∈（-1，+∞），
当x∈[-1，lnm）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（lnm，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以函数f（x）在[-1，+∞）上有最小值为f（lnm）=m-mlnm，无最大值．
综上所述：当$m≤\frac{1}{e}$时，函数f（x）在[-1，+∞）上单调递增，
有最小值f（-1）=$\frac{1}{e}+m$，无最大值；
当$m＞\frac{1}{e}$时，函数f（x）在[-1，lnm）上单调递减，在（lnm，+∞）上单调递增，
有最小值为f（lnm）=m-mlnm，无最大值．

点评 本题考查函数的单调性，最值，注意解题方法的积累，属于中档题．