Question

5．已知关于x的函数f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx在点（1，0）处的切线的斜率为0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数f（x）的图象与直线y=k²-2k无公共点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由函数f（x）在（1，0）处的切线斜率为0，即有f′（1）=0，f（1）=0，列方程可得m=-1，即可得到f（x）的解析式；
（2）求f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到函数的极大值，也为最大值0，再由题意可得k²-2k＞0，解得即可．

解答 解：（1）函数f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx
的导数f′（x）=m（2x-4+$\frac{1}{x}$）-（2m²+1）+$\frac{2}{x}$，
由函数f（x）在（1，0）处的切线斜率为0，
即有f′（1）=0，f（1）=0，
即为2m²+m-1=0，且2m²+3m+1=0，
解得m=-1，
即有f（x）=-x²+x+lnx；
（2）f（x）=-x²+x+lnx的导数为f′（x）=-2x+1+$\frac{1}{x}$
=$\frac{-2{x}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
则有f（x）在x=1处取得极大值，也为最大值，且为0，
由于函数f（x）的图象与直线y=k²-2k无公共点，
则k²-2k＞0，
解得k＞2或k＜0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间及极值、最值，正确求导和解二次不等式是解题的关键