Question

8．已知函数f（x）=ax-$\frac{a}{x}$-2lnx的图象在x=1处的切线的斜率为0．
（1）求a的值；
（2）若a₁=4，a_n+1=f′（$\frac{1}{{a}_{n}-n+1}$）-n²+1（n∈N^*），求证：a_n≥2n+2．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，由已知解方程即可得到a=1；
（2）求出f（x）的导数，先由题意求得f′（$\frac{1}{{a}_{n}-n+1}$），再由对于关于自然数n的命题：
a_n+1=f′（$\frac{1}{{a}_{n}-n+1}$）-n²+1，常用数学归纳法证明．

解答 （1）解：函数f（x）=ax-$\frac{a}{x}$-2lnx的导数为f′（x）=a+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$，
则在x=1处的切线的斜率为2a-2=0，
解得a=1；
（2）证明：f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，
所以f′（x）=1-$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²，
于是a_n+1=f′（$\frac{1}{{a}_{n}-n+1}$）-n²+1=（a_n-n）²-n²+1
=a_n²-2na_n+1．
用数学归纳法证明如下：
当n=1时，a₁=4=2×1+2，
当n=2时，a₂=9＞2×2+2，成立；
假设当n=k（k≥2且k∈N^*）时，不等式a_k＞2k+2成立，即a_k-2k＞2成立，
则当n=k+1时，a_k+1=a_k（a_k-2k）+1＞（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，
所以当n=k+1，不等式也成立，
综上得对所有n∈N^*时，都有a_n≥2n+2．

点评 本题主要考查用数学归纳法证明不等式、函数单调性的应用、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若：1°P（n₀）成立（奠基）；2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．