Question

12．数列S=$\frac{2}{2}$+$\frac{4}{{2}^{2}}$+$\frac{6}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2（n-1）}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n}{{2}^{n}}$前n项和为S_n=4$-\frac{1}{{2}^{n-2}}$$-\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 根据S的式子得出S=$\frac{2}{2}$+$\frac{4}{{2}^{2}}$+$\frac{6}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2（n-1）}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n}{{2}^{n}}$①
$\frac{1}{2}$S=$\frac{2}{{2}^{2}}$$+\frac{4}{{2}^{3}}$+…$+\frac{2（n-1）}{{2}^{n}}$$+\frac{2n}{{2}^{n+1}}$，②
错位相减得出$\frac{{S}_{n}}{2}$=1$+\frac{2}{{2}^{2}}$$+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$$-\frac{2n}{{2}^{n+1}}$，利用等比数列求和公式求解即可．

解答 解：S=$\frac{2}{2}$+$\frac{4}{{2}^{2}}$+$\frac{6}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2（n-1）}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n}{{2}^{n}}$①
$\frac{1}{2}$S=$\frac{2}{{2}^{2}}$$+\frac{4}{{2}^{3}}$+…$+\frac{2（n-1）}{{2}^{n}}$$+\frac{2n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②得出：$\frac{{S}_{n}}{2}$=1$+\frac{2}{{2}^{2}}$$+\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$$-\frac{2n}{{2}^{n+1}}$，
化简得出：S_n=4$-\frac{1}{{2}^{n-2}}$$-\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
故答案为S_n=4$-\frac{1}{{2}^{n-2}}$$-\frac{n}{{2}^{n-1}}$，

点评 本题考查了数列的错位相减法求解前n项和的方法，关键是仔细化简运算，转为等比数列求解．