Question

11．已知集合M_B是满足下列性质函数f（x）的全体，对于定义域B中的任何两个自变量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
（1）当B=R时，f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$是否属于M_B？为什么？
（2）当B=（0，+∞）时，f（x）=$\frac{1}{x}$是否属于M_B，若属于请给予证明；若不属于请说明理由，并说明是否存在一个B₁?（0，+∞）使f（x）=$\frac{1}{x}$属于${M}_{{B}_{1}}$．

Answer 1

分析 若|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，则 $\frac{\left|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）\right|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$≤1，即|f′（x）|≤1，
（1）当f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$时，判断|f′（x）|≤1是否恒成立，可得答案；
（2）当f（x）=$\frac{1}{x}$时，求出使|f′（x）|≤1恒成立，且满足B₁?（0，+∞）的区间，可得答案．

解答 解：若|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，则 $\frac{\left|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）\right|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$≤1，
即|f′（x）|≤1，
（1）f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$是否属于M_B，理由如下：
若f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，则函数的导数为f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
当x=0时，f′（x）=0，满足条件|f′（x）|≤1，
当x≠0时，|f′（x）|=|$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$|≤1，
故f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$是否属于M_B，
（2）若f（x）=$\frac{1}{x}$，则函数的导数为f′（x）=$-\frac{1}{{x}^{2}}$，
由|f′（x）|≤1得，x≥1，
故当B=（0，+∞）时，f（x）=$\frac{1}{x}$不属于M_B，
但存在B₁=[1，+∞）⊆（0，+∞）使f（x）=$\frac{1}{x}$属于${M}_{{B}_{1}}$．

点评 本题主要考查函数最值的应用，利用导数是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度