Question

18．已知函数f（x）=e^x-ax-b，若f（x）≥0恒成立，则ab的最大值为$\frac{e}{2}$．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab的最大值．

解答 解：f′（x）=e^x-a，
若a=0，则f（x）=e^x-b的最小值为f（x）＞-b≥0，
得b≤0，此时ab=0；
若a＜0，则f′（x）＞0，函数单调增，x→-∞，此时f（x）→-∞，不可能恒有f（x）≥0．
若a＞0，则得极小值点x=lna，由f（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna）
ab≤a²（1-lna）=g（a）
现求g（a）的最小值：由g′（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，得极小值点a=${e}^{\frac{1}{2}}$，
g（${e}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{e}{2}$
所以ab的最大值为$\frac{e}{2}$，
故答案为：$\frac{e}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．