Question

1．已知函数f（x）=lg[（x²-2x+a）²-2（x²-2x+a）-3]，其中2＜a＜4．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性（不要求证明）；
（Ⅲ）求满足f（x）＞f（3）时x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据对数函数的性质建立不等式关系即可求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）根据复合函数单调性之间的关系即可确定f（x）的单调性；
（Ⅲ）根据条件判断函数关于x=1对称，结合函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）要使函数有意义，则（x²-2x+a）²-2（x²-2x+a）-3＞0，
即x²-2x+a＞3或x²-2x+a＜-1，
即x²-2x+a-3＞0或x²-2x+a+1＜0，
由x²-2x+a-3＞0得x＞$1+\sqrt{4-a}$或x＜1-$\sqrt{4-a}$，
由x²-2x+a+1＜0得不等式无解，
综上函数f（x）的定义域为{x|x＞$1+\sqrt{4-a}$或x＜1-$\sqrt{4-a}$}；
（Ⅱ）设m=t²-2t-3，t=x²-2x+a，
则当x＞$1+\sqrt{4-a}$时，t=x²-2x+a＞3，且函数t=x²-2x+a为增函数，此时m=t²-2t-3为增函数，即函数f（x）递增，
当x＜1-$\sqrt{4-a}$时，t=x²-2x+a＞3，且函数t=x²-2x+a为减函数，此时m=t²-2t-3为增函数，即函数f（x）递减，
故函数f（x）的递增区间为（$1+\sqrt{4-a}$，+∞），递减区间为（-∞，1-$\sqrt{4-a}$）．
（Ⅲ）f（x）=lg[（x²-2x+a）²-2（x²-2x+a）-3]=lg[[（x-1）²+a-1]²-2[（x-1）²+a-1]-3]，
则函数f（x）关于x=1对称，
∵f（x）的递增区间为（$1+\sqrt{4-a}$，+∞），
∴当2＜a＜4时，3＞$1+\sqrt{4-a}$，
即当x＞3时，函数f（x）为增函数，
∴若f（x）＞f（3），则x＞3．
∵函数f（x）关于x=1对称，
∴当x＜3时，不等式f（x）＞f（3）的解为x＜-1，
综上满足f（x）＞f（3）时x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）．

点评 本题主要考查对数函数的图象和性质，利用换元法结合一元二次函数的性质，以及复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．