Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=$\sqrt{6}$，CD=2AB=2$\sqrt{2}$，∠PAD=120°，E和F分别是侧棱CD和PC的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面PCD；
（2）求三棱锥F-BCE的体积．

Answer 1

分析 （1）证明平面BEF⊥平面PCD，可证CD⊥平面BEF，由已知可得CD⊥BE，然后证明CD⊥EF，又BE∩EF=E，可得CD⊥面BEF，则平面BEF⊥平面PCD；
（2）由（1）知，CE⊥平面BEF，把三棱锥F-BCE的体积利用等积法转化为求C-BFE的体积，通过解三角形求得三角形BFE为直角三角形且求得边长，代入体积公式得答案．

解答 （1）证明：如图，
∵AB⊥PA，AB∥CD，∴CD⊥PA，
∵BC=CD，E为CD中点，∴CD⊥BE，
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}CD$=ED，∴四边形ABED为平行四边形，则BE∥AD，
∴CD⊥AD，又PA∩AD=A，
∴CD⊥面PAD，则CD⊥PD，
∵E，F分别为CD，PC中点，∴EF∥PD，
则CD⊥EF，又BE∩EF=E，
∴CD⊥面BEF，
∴平面BEF⊥平面PCD；
（2）解：由（1）知，CE⊥平面BEF，
在等腰三角形BCD中，底边上的高BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}=\sqrt{6-2}=2$，
在直角三角形PAB中，PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{6-2}=2$，
在三角形PAD中，PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}-2PA•AD•cos120°}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}=2\sqrt{3}$．
则EF=$\sqrt{3}$，
PC=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=2\sqrt{5}$，则BF=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}=1$，
在三角形BEF中，由BE=2，EF=$\sqrt{3}$，BF=1，可得∠BFE=90°，
∴V_F-BCE=V_C-BFE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．