Question

14．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）已知AP=1，AD=$\sqrt{3}$，设EC与平面ABCD所成的角为α，且tanα=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，求二面角D-AE-C的大小．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明PB∥平面AEC；
（2）方法1：根据线面所成的角的定义结合二面角的求解方法，进行求解．
方法2：利用向量法或定义法进行求解即可．

解答 证明：（1）连结BD交AC于点O，连接EO．
∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点-------------------（1分）
又E为PD的中点，∴EO∥PB．----------------------（2分）
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．----------------------------------（3分）
（2）过点E作EF∥PA交AD于F，连结FC，
∵PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，且$EF=\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}$
∴∠ECF=α-------------------------------------（4分）
由$tanα=\frac{EF}{FC}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$得$FC=\sqrt{3}$---------------------（5分）
则$CD=\sqrt{F{C^2}-F{D^2}}=\frac{3}{2}$，------------------------（6分）
解法一：
过D作DQ⊥AE交AE于点Q，连结CQ，
∵PA?面PAD，∴面PAD⊥面ABCD，----------（7分）
又面PAD∩面ABCD=AD，CD⊥AD，
∴CD⊥面PAD--------------------------------（8分）
∵AQ?面APD∴CD⊥AQ，且DQ∩AQ=Q，
∴AQ⊥面CDQ，
故AQ⊥CQ---------------------------------------------------（9分）
∴∠DQC是二面角D-AE-C的平面角．-----------------------------------------（10分）
∵AP=1，$AD=\sqrt{3}$，
∴$∠PDA=\frac{π}{6}$
又∵E为PD的中点，
∴$∠EAD=∠EDA=\frac{π}{6}$--------------------------------------（11分）
在Rt△AQD中，$DQ=\frac{1}{2}AD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴$tan∠CQD=\frac{CD}{DQ}=\frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\sqrt{3}$，-----------------------------------------------（13分）
∵0＜∠CQD＜π，
∴$∠CQD=\frac{π}{3}$，即二面角D-AE-C的大小为$\frac{π}{3}$．---------------------------------（14分）
解法二：
以A为原点，AB、AD、AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，-（7分）
则A（0，0，0），$B（\frac{3}{2}，0，0）$，$D（0，\sqrt{3}，0）$，$C（\frac{3}{2}，\sqrt{3}，0）$，P（0，0，1），-----------（8分）
故$E（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AE}=（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}），\overrightarrow{AC}=（\frac{3}{2}，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{AB}=（\frac{3}{2}，0，0）$，-----------（9分）
由条件可知，$\overrightarrow{AB}=（\frac{3}{2}，0，0）$为平面ADE的一个法向量，------（10分）
设平面AEC的一个法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
则由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{\sqrt{3}}}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\frac{3}{2}x+\sqrt{3}y=0}\end{array}}\right.$，
取x=2，得$y=-\sqrt{3}，z=3$，
∴$\overrightarrow n=（2，-\sqrt{3}，3）$---------------------------------------------------------------（12分）
设二面角D-AE-C的大小为θ，则$cosθ=|{cos\left?{\overrightarrow{AB}，\overrightarrow n}\right＞}|$=$|{\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{AB}|•\overrightarrow{|n|}}}}|=\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$，
即二面角D-AE-C的大小为$\frac{π}{3}$．-------------------------------------（14分）

点评 本题主要考查空间直线和平面平行的判定以及空间二面角的求解，利用向量法或定义法是解决空间角的常用方法，考查学生的推理和计算能力．