Question

4．如图，已知点M，N是单位圆的半圆弧$\widehat{AB}$上异于端点的不同的任意两点，且直线MN与x轴相交于点R，若$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OM}+y\overrightarrow{ON}$（x，y∈R，O为坐标原点），则实数x+y的取值范围是（-∞，1）．

Answer 1

分析 设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），由$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OM}$+y$\overrightarrow{ON}$，列出方程组，
求出x、y的值，再利用三角函数求出x+y的取值范围．

解答 解：设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），其中α∈（0，π），β∈（0，π），且sinα≠sinβ，α+β≠π；
则$\overrightarrow{OA}$=（-1，0），
∴（-1，0）=（xcosα+ycosβ，xsinα+ysinβ）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{xcosα+ycosβ=-1}\\{xsinα+ysinβ=0}\end{array}\right.$，
解得：x=-$\frac{sinβ}{sin（α-β）}$，y=$\frac{sinα}{sin（α-β）}$，
∴x+y=-$\frac{sinβ}{sin（α-β）}$+$\frac{sinα}{sin（α-β）}$
=$\frac{sinα-sinβ}{sin（α-β）}$
=$\frac{2cos\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2}}{2sin\frac{α-β}{2}cos\frac{α-β}{2}}$
=$\frac{cos\frac{α}{2}cos\frac{β}{2}-sin\frac{α}{2}sin\frac{β}{2}}{cos\frac{α}{2}cos\frac{β}{2}+sin\frac{α}{2}sin\frac{β}{2}}$
=$\frac{1-tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2}}{1+tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2}}$
=-1+$\frac{2}{1+tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2}}$；
∵tan$\frac{α}{2}$tan$\frac{β}{2}$＞0，∴1+tan$\frac{α}{2}$tan$\frac{β}{2}$＞1，
∴$\frac{2}{1+tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2}}$＜2，
∴-1+$\frac{2}{1+tan\frac{α}{2}tan\frac{β}{2}}$＜1；
∴x+y＜1，即x+y的取值范围是（-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是综合性题目．